2009届高考数学快速提升成绩题型训练――放缩法

1. 设、、是三角形的边长，求证≥3

2 设、、是三角形的边长，求证≥

3. 设、、且求证≤1

4. 设、、≥0，且，求证≥

5. 设、、，，求证：

≥

6. 设0≤≤≤≤1，求证：≤1

7. 若a, b, c, dÎR⁺，求证：

8. 当 n > 2 时，求证：

9. 求证：

10. 已知a, b, c > 0, 且a² + b² = c²，求证：aⁿ + bⁿ < cⁿ (n≥3, nÎR^*)

11. 设、、是三角形的边长，求证≥

12. 设、、≥0，且，求证≥

13. 设、、，，求证：

≥

14. 设0≤≤≤≤1，求证：≤1

15. 已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足，证明：，

16. 已知数列的前项和满足：，

（1）写出数列的前三项，，；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对任意的整数，有

17. 定义数列如下：

证明：（1）对于恒有成立。

     （2）当，有成立。

     （3）。

18. 已知求证：

19. 函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.

20. 已知a_n=n ，求证：nk=1＜3．

21. 已知数列满足求证：

22. 设求证：

23. 求证：

24. 已知，证明：不等式对任何正整数都成立.

25. 已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.

(1)证明：nⁱA＜mⁱA；(2)证明：(1+m)ⁿ＞(1+n)^m

答案：

1. 证明：由不等式的对称性，不妨设≥≥，则≤≤

      且≤0， ≥0

      ∴

       ≥

       ∴≥3

2. 证明：由不等式的对称性，不防设≥≥，则≥

      左式－右式

                ≥

                ≥≥0

3. 证明：设.且 x、y、.  由题意得：。

      ∴

      ∴≥0

      ∴≥

      ∴≥

      ∴≤

同理：由对称性可得≤，≤    ∴命题得证.

4. 证明：不妨设≤≤ ，则≤1。∴。

又∵≥bc，即≥bc，也即≥。

∴左边

     ≥

     ≥

     ∴≥

5. 证明：不妨设≥≥＞0，于是

      左边－右边

                ≥

       如果≥0，那么≥0；如果＜0，那么≥0，故有

       ≥0，从而原不等式得证.

6. 证明：设0≤≤≤≤1，于是有≤，再证明以

下简单不等式

≤1，因为左边

      ，再注意≤

      ≤1得证.

7. 证：记m =

    ∵a, b, c, dÎR⁺      

    ∴

    ∴1 < m < 2     即原式成立

8. 证：∵n > 2     ∴

      ∴

      ∴n > 2时, 

9. 证：

      ∴

10. ∵，又a, b, c > 0, ∴

   ∴

11. 证明：由不等式的对称性，不防设≥≥，则≥

      左式－右式

                ≥

                ≥≥0

12. 证明：不妨设≤≤ ，则≤1。∴。

又∵≥bc，即≥bc，也即≥。

∴左边

     ≥

    ≥

     ∴≥

13. 证明：不妨设≥≥＞0，于是

      左边－右边

                ≥

       如果≥0，那么≥0；如果＜0，那么≥0，故有

       ≥0，从而原不等式得证.

14. 证明：设0≤≤≤≤1，于是有≤，再证明以

下简单不等式

≤1，因为左边

      ，再注意≤

      ≤1得证.

15. 分析：由条件得：

       ……

以上各式两边分别相加得：

     =

本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。

16. 分析：⑴由递推公式易求：a₁=1,a₂=0,a₃=2；

⑵由已知得：（n>1）

化简得：

,

故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.

故   ∴

∴数列{}的通项公式为：.

⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，

，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，